DISTRIBUSI PELUANG

Distribusi Peluang Diskrit

Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan angka yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskrit sedangkan peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut adalah variabel acak diskrit. Variabel acak diskrit X menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai-nilai 𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 terdapat peluang p (𝑥𝑖 ) sehingga:

p(x) disebut fungsi peluang untuk variabel acak X pada harga X = x

Suatu nilai yang diharapkan akan menjadi kejadian dapat dipandang sebagai nilai harapan atau dinyatakan dengan (X) dibaca “ekspektasi”. Dimana nilai harapan suatu peubah acak dapat diperoleh dengan mengalikan tiap nilai peubah acak tersebut dengan peluangnya dan menjumlahkan hasilnya .

Jenis distribusi Peluang Diskrit antara lain Distribusi Binominal, Distribusi Multinominal, Distribusi Poisson, dan Distribusi Hypergeometrik .

1. Distribusi Binomial

Distribusi Binomial menggambarkan distribusi probabilitas variabel acak diskrit yang hanya mempunyai dua nilai yang mengkin, misalnya berhasil atau gagal. (Sutanta: 2005, 76). Budiyono (2009 : 98) juga mengatakan bahwa Distribusi peluang binomial adalah distribusi peluang yang dihasilkan dari sebuah eksperimen yang  sering dilakukan berulang-ulang, yang setiap kali hasil ulangan mempunyai dua kemungkinan hasil yang dapat disebut sukses dan gagal. Sudjana (2005 : 130) juga berpendapat sama yaitu “ Distribusi Binomial adalah distribusi yang dihasilkan dari eksperimen yang hanya menghasilkan peristiwa A dan bukan A.

Ciri-ciri atau karakteristik Distribusi Binomial :

a. Percobaan diulang sebanyak n kali

b. Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan dalam 2 kelas. Misal : “berhasil” atau “gagal”, “ya” atau “tidak”, “success” atau “failed”

c. Peluang berhasil atau sukses disimbolkan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap, dimana p = 1 – q sedangkan peluang gagal dinyatakan dengan q dimana q = 1 – p

d. Banyaknya keberhasilan dalam peubah acak disimbolkan dengan X
e. Setiap ulangan bersifat bebas (independent) satu dengan lainnya.
f. Semakin banyak N maka peluang terjadinya suatu kejadian tertentu semakin kecil. Perlu diingat bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan ataupun ditanyakan dari suatu permasalahan bisa

dikategorikan sebagai kejadian “sukses atau berhasil”.

Definisi 2
Banyaknya sukses X dalam n usaha suatu percobaan binomial disebut suatu peubah acak binomial.

Untuk mencari peluang dengan Distribusi Binomial digunakan rumus :

Sedangkan Koefisien Binomial dicari dengan rumus:

Sehingga didapatkan rumus :

Dengan 𝑋 = 0,1,2, … , 𝑁 ; 𝑁! = 𝑁(𝑁 − 1)(𝑁 − 2) … .1; dan 0! = 1 berdasarkan definisi, dalam Distribusi Binomial dikenal parameter rata-rata (𝜇) dan simpangan baku 

(𝜎)

𝑀𝑒𝑎𝑛 ∶ 𝜇 = 𝑁𝑝

𝑆𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝐷𝑒𝑣𝑖𝑎𝑠𝑖 ∶ 𝜎 = √𝑁𝑝𝑞

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 ∶ 𝜎 2 = 𝑁𝑝𝑞

Contoh :

Dalam pelambungan sebuah mata uang tiga kali, didefinisikan X= banyaknya Angka yang muncul. Berapa peluangnya muncul 2 buah Angka ?

Jawab :

𝑝 = Peluang muncul angka pada satu pelambungan = ½

𝑁 = 3 (Banyaknya pelambungan, banyaknya pengulangan)

𝑋 = 2 (Banyaknya Angka yang diharapkan muncul)

2. Distribusi Multinomial

Distribusi Multinomial merupakan distribusi variabel acak diskrit dimana suatu percobaan dapat menghasilkan beberapa kejadian. Distribusi multinomial adalah perluasan dari distribusi binomial (Sudjana, 2005 :132). Budiyono (2009 : 101) menyatakan bahwa eksperimen binomial akan menjadi eksperimen multinomial jika setiap percobaan menghasilkan lebih dari dua kemungkinan hasil. Dalam pelambungan sebuah dadu misalnya, akan terjadi 6 kemungkinan, yaitu muncul mata 1,2,3,4,5, atau 6 (Spiegel, Murray R., 2004 : 35).

Misalkan sebuah percobaan menghasilkan kejadian E1, E2, ……… , Ek dengan peluang 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝐾dan dilakukan percobaan sebanyak N kali maka peluang terjadinya x1 peristiwa E1, x2 peristiwa E2, …… xk peristiwa Ek diantara N,

ditentukan oleh :

Dimana 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝐾 = 𝑁
Distribusi ini merupakan perluasan distribusi binomial. Karena rumus diatas adalah suku umum dalam ekspansi multinomial (𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝐾 )𝑁.

Contoh :
Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah, 4 bola biru, dan 5 bola putih. Sebuah bola diambil dari kotak tersebut, dilihat warnanya, kemudian dikembalikan lagi kedalam kotak. Diambil sebuah bola lagi, dilihat warnanya, kemudian dikembalikan lagi kedalam kotak. Hal demikian dilakukan sampai 6 kali. Dalam 6 kali pengambilan
tersebut, berapa peluangnya terdapat 1 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola putih ?
Jawab :




3. Distribusi Poisson

Distribusi poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Percobaan Poisson apabila menghasilkan peubah acak X yang menyatakan banyaknya hasil selama selang waktu, periode atau daerah tertentu. Misalnya jumlah barang yang cacat setiap kali pengiriman, banyaknya hubungan telepon yang diterima kantor per jam.

Beberapa karakteristik Distribusi Poisson adalah sebagai berikut:

a. Banyaknya hasil yang terjadi dalam suatu interval tertentu tidak terpengaruh oleh apa yang terjadi pada interval lain yang terpisah (tidak berpotongan dan independent) dalam kaitan ini, proses Poisson dikatakan tidak punya ingatan).

b. Peluang terjadi suatu hasil (tunggal) dalam selang tertentu yang amat pendek sebanding dengan panjang selang dan tidak tergantung pada banyaknya hasil yang terjadi dluar selang

c. Peluang terjadinya lebih dari satu hasil dalam selang waktu yang pendek (sempit) dapat diabaikan. Distribusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam situasi tertentu.Rumus poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan , misalnya: probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor.

     Budiyono, (2009 : 103) menyatakan jika pada distribusi binomial b(x; n; 𝜃), parameter n cukup besar (secara teoritis 𝑛 → ~) maka akan diperoleh Distribusi Poisson dangan parameter  = nθ. Sutanta (2005:80) menyatakan jika suatu variabel random x menyatakan ratarata kedatangan pada suatu rentang waktu yang kecil, maka x dikatakan mengikuti Distribusi Poisson, dengan formula :

Dimana : e = 2.71828

               𝜆 = sebuah bilangan tetap untuk 𝑒−𝜆 dapat dilihat dalam tabel daftar D

               x = 1,2, 3, …..

               p(x) = probabilitas kelas sukses

Contoh :

Jika peluang seseorang terkena penyakit demam adalah 0,005, berapa peluang bahwa terdapat 18 orang yang terkena penyakit demam dari 3000 orang ?

Jawab :

Jika X= banyaknya orang yang terkena penyakit demam, maka X berdistribusi Poisson dengan parameter 𝜆 = nø = (3000)(0,005)=15. Oleh karena itu peluang yang ditanyakan ialah :

Jadi dari 3000 orang, peluang 18 orang diantaranya terkena penyakit demam adalah 0,0706.

4. Distribusi Hipergeometrik
Banyaknya sukses X dalam percobaan hipergeometrik disebut peubah acak hipergeometrik. Budiyono (2009 : 102), menyatakan bahwa Distribusi Hipergeometrik adalah Distribusi dari eksperimen sampling tanpa pengambilan. Jika sebuah variabel acak x menyatakan jumlah sukses dalam n percobaan / sampel dan total jumlah sukses (Edhy Sutanta, 2005 :79). D diambil dari sebuah populasi berukuran N, maka x dikatakan mengikuti distribusi hipergeometrik dengan fungsi peluang dirumuskan sebagai berikut :

Keterangan :

P(x) : peluang x

D     : pengambilan

N     : populasi

n      : banyaknya data pengambilan / sampel (Sutanta:2005,79)

Dengan 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛 dan faktor –faktor diruas kanan ditentukan oleh rumus :

       Apabila populasi besar dan sampel relatif kecil, pengambilan secara sampling dilakukan tanpa pengembalian menimbulkan efek terhadap probabilitas sukses dalam setiap percobaan kecil, untuk mendekati nilai probabilitas hipergeometrik dapat digunakan konsep distribusi binomial, dengan syarat n≤ 0,05 N.

Suatu percobaan hipergeometrik memiliki sifat berikut :

1. Sampel acak ukuran n diambil dari N benda.

2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, N – k diberi nama gagal.

Rataan dan variansi distribusi hipergeometrik ℎ(𝑥; 𝑁, 𝑛, 𝑘) adalah

Contoh :

Suatu kotak memuat 100 bola dan 5 diantaranya merah. Jika 10 bola diambil tanpa pengembalian, berapakah probabilitas mendapat paling sedikit 4 merah ?

Jawab :

Distribusi Peluang Kontinu

Distribusi peluang kontinu adalah peubah acak yang dapat memperoleh semua nilai pada skala kontinu. Ruang sampel kontinu adalah bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga banyaknya. Syarat dari distribusi kontinu adalah apabila fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan riil R bila:

Jenis distribusi Peluang Kontinu antara lain Distribusi Normal, Distribusi Student’s, Distribusi Poisson, dan Distribusi Hypergeometrik .

1. Distribusi Normal

Distribusi Normal (Gaussian) mungkin merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistik. Distribusi ini paling banyak digunakan sebagai model bagi data riil di berbagai bidang yang meliputi antara lain karakteristik fisik makhluk hidup (berat, tinggi badan manusia, hewan, dll). Terdapat empat alasan mengapa distribusi normal menjadi distribusi yang paling penting :
a. Distribusi Normal terjadi secara alamiah.
b. Beberapa variabel acak yang tidak terdistribusi secara normal dapat dengan mudah ditransformasi menjadi suatu distribusi variabel acak yang normal.
c. Banyak hasil dan teknik analisis yang berguna dalam pekerjaan statistik hanya bisa berfungsi dengan benar jika model distribusinya merupakan distribusi normal.
d. Ada beberapa variabel acak yang tidak menunjukkan distribusi normal pada populasinya, namun distribusi dari rata-rata sampel yang diambil secara random dari populasi tersebut ternyata menunjukkan distribusi normal.


     Distribusi Normal disebut juga Gausian distribution adalah salah satu fungsi distribusi peluang berbentuk lonceng seperti gambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, distribusi Normal akan memiliki beberapa ciri diantaranya:

a. Kurvanya berbentuk garis lengkung yang halus dan berbentuk seperti genta.

b. Simetris terhadap rataan (mean).

c. Kedua ekor/ ujungnya semakin mendekati sumbu absisnya tetapi tidak pernah memotong.

d. Jarak titik belok kurva tersebut dengan sumbu simetrisnya sama dengan σ

e. Luas daerah di bawah lengkungan kurva tersebut dari - ~ sampai + ~ sama dengan 1 atau 100 %. 

Sebuah variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi normal dengan parameter

 

jika fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah :

Dimana :

𝜇𝑥  = mean

𝜎𝑥  = deviasi standard

𝜋    = nilai konstan yaitu 3, 1416

𝑒    = nilai konstan yaitu 2,7183

Untuk setiap nilai 𝜇𝑥 dan 𝜎𝑥, kurva fungsi akan simetris terhadap 𝜇𝑥 dan memiliki total luas dibawah kurva tepat 1. Nilai dari 𝜎𝑥 menentukan bentangan dari kurva sedangkan 𝜇𝑥 menentukan pusat simetrisnya. Distribusi normal kumulatif didefinisikan sebagai probabilitas variabel acak normal X bernilai kurang dari atau sama dengan suatu nilai x tertentu. Maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal ini dinyatakan sebagai :

     Untuk menghitung probabilitas 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) dari suatu variabel acak kontinu X yang terdistribusi secara normal dengan parameter 𝜇𝑥 dan 𝜎𝑥 maka persamaan (1) harus diintegralkan mulai dari 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑏. Namun, tidak ada satupun dari teknik-teknik pengintegralan biasa yang bisa digunakan untuk menentukan integral tersebut. Untuk itu para ahli statistik/matematik telah membuat sebuah penyederhanaan dengan memperkenalkan sebuah fungsi kepadatan probabilitas normal khusus dengan nilai mean 𝜇 = 0 dan deviasi standard 𝜎 = 1. Distribusi ini dikenal sebagai distribusi normal standard (standard normal distribution). Variabel acak dari distribusi normal standard ini biasanya dinotasikan dengan Z. 

    Dengan menerapkan ketentuan diatas pada persamaan (1) maka fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi normal standard variabel acak kontinu Z adalah:

Sedangkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal standard ini dinyatakan sebagai :

Distribusi normal variabel acak kontinu X dengan nilai-nilai parameter 𝜇𝑥 dan 𝜎𝑥 berapapun dapat diubah menjadi distribusi normal kumulatif standard jika variabel acak standard Zx menurut hubungan :

Nilai 𝑧𝑥 dari variabel acak standard 𝑧𝑥 sering juga disebut sebagai skor z dari variabel acak X.

2. Distribusi Student’s t

Distribusi student’s t adalah distribusi yang ditemukan oleh seorang mahasiswa yang tidak mau disebut namanya. Untuk menghargai hasil penemuannya itu, distribusinya disebut distribusi Student yang lebih dikenal dengan distribusi “t”, diambil dari huruf terakhir kata “student”. Bentuk persamaan fungsinya :

Berlaku untul −∞ < 𝑡 < ∞ dan K merupakan tetapan yang besarnya tergantung dari besar n sedemikian sehingga luas daerah antara kurva fungsi itu dan sumbu t adalah 1. Bilangan n – 1 disebut derajat kebebasan (dk). Yang dimaksudkan dengan dk ialah kemungkinan banyak pilihan dari sejumlah objek yang diberikan. Misalnya kita mempunyai dua objek yaitu A dan B. Dari dua objek ini kita hanya mungkin melakukan 1 kali pilihan saja, A dan B. Seandainya terpilih A maka B tidak usah dipilih lagi. Dan untuk itu dk = 2 – 1 = 1.

Contoh soal:

a. Untuk n = 13, jadi dk = (n-1) = 13 - 1 = 12, dan p = 0,95 maka t = 1,782 ini didapat (lihat tabel distruibusi-t) dengan jalan maju ke kanan dari 12 dan menurun 0,95.

b. Bagaimana menggunakan tabel t? kalau v = 10 (berarti misalnya n = 11) serta 𝛼 = 0,05 maka 𝑃(𝑡>?) = 0,05

Jawab:

Untuk tabel yang disusun secara kumulatif maka kita harus melihat pada tabel t kumulatif, derajat bebas (v) =10 dan p = 1-0,05 = 0,95 dan ini menghasilkan nilai 𝑡 = 𝑡0,05 = 1,812.

Jadi 𝑃(𝑡 > 1,812) = 0,05

3. Distribusi Chi-Kuadrat (𝝌𝟐)

Distribusi Chi-Kuadrat merupakan distribusi yang banyak digunakan dalam sejumlah prosedur statistik inferensial. Distribusi chi-kuadrat merupakan kasus khusus dari distribusi gamma dengan faktor bentuk 𝛼 = 𝑣/2, dimana v adalah bilangan bulat positif dan faktor skala 𝛽 = 2.
Jika variabel acak kontinu X memiliki distribusi chi-kudrat dengan parameter v, maka fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah :

Parameter n disebut angka derajat kebebasan (degree of freedom/df) dari X. Sedangkan fungsi distribusi kumulatif Chi-Kuadrat adalah :

Berikut ini diberikan rumusan beberapa ukuran statistik deskriptif untuk Distribusi Chi-Kuadrat.

Contoh :

Suatu perusahaan baterai mobil memberikan jaminan bahwa masa pakai baterai yang diproduksinya adalah rata-rata 3 tahun dengan simpangan baku 1 tahun. Jika diambil contoh sebanyak 5 buah baterai dan masa pakainya (dalam tahun) adalah: 1,9 ; 2,4 ; 3,0 ; 3,5 ; dan 4,2. Apakah benar bahwa jaminan perusahaan tentang simpangan baku 1 tahun dapat dipercaya?

Penyelesaian :

Pertama-tama kita menghitung nilai ragam contoh (𝑠2) :

Nilai 3,26 adalah nilai chi kuadrat dengn derajat bebas v = n-1 = 5-1 =4. Karena 95% dari nilai chi kuadrat dengan derajat bebas 4 terletak antara 0,484 (𝑋0,0252 ) dan 11,1 (𝑋0,9752 ) Maka berdasarkan nilai 𝑋2 = 3,26 terletak dalam selang nilai sebaran chi kuadrat 95% dengan derajat bebas 4, maka pernyataan bahwa simpangan baku adalah 1 tahun masih dapat dipercaya.

4. Distribusi Fischer
Menurut Gasperz (1989:251), secara teori sebaran F merupakan rasio dari dua sebaran chi kuadrat yang bebas. Oleh karena itu peubah acak F diberikan sebagai: